Question

16．若函数y=mx²-2x+1与x轴正半轴有且只有一个交点，则实数m的取值范围为m≤0或m=1．

Answer 1

分析 分类讨论：当m=0时，函数为一次函数y=-2x+1，直线y=-2x+1与x轴的正半轴交于点（$\frac{1}{2}$，0）；当m≠0时，函数为二次函数，若△=（-2）²-4m=0，解得m=1，此时抛物线的顶点坐标为（1，0），若m＜0，可判断抛物线与x轴有两个交点，而抛物线的对称轴在y轴左侧，则可判断抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点．

解答 解：当m=0时，函数化为y=-2x+1，当y=0时，-2x+1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，则直线y=-2x+1与x轴的正半轴交于点（$\frac{1}{2}$，0）；
当m≠0时，若△=（-2）²-4m=0，解得m=1，此时抛物线解析式为y=x²-2x+1=（x-1）²，抛物线的顶点坐标为（1，0），
若m＜0，△=（-2）²-4m＞0，抛物线与x轴有两个交点，而抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-2}{2m}$=$\frac{1}{m}$＜0，所以抛物线与x轴正半轴有且只有一个交点，
综上所述，m的取值范围为m≤0或m=1．
故答案为m≤0或m=1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了分类讨论思想的运用．