Question

已知在2010个互不相等的有理数中，每2009个数的和都是分母为4022的既约真分数，求这2010个有理数的和．

Answer 1

分析：先设2010个互不相等的有理数分别为x₁，x₂，…，x₂₀₁₀，再根据每2009个数的和都是分母为4022的既约真分数得到关于x的方程组，把方程组中的方程相加即可得到x₁+x₂+…+x₂₀₁₀的值．

解答：解：设2010个互不相等的有理数分别为x₁，x₂，…，x₂₀₁₀，不妨设

x1+x2+…+x2009= 1 4022 ① x2+x3+…+x2010= 3 4022 ② x3+x4+…+x2010+x1= 5 4022 ③ … x2010+x1+…+x2008= 4021 4022

①+②+③+…+2010，得，
2009（x₁+x₂+…+x₂₀₁₀）=

1+3+5+…+2009+2013+…+4021

4022

，
=

1

4022

[

(1+4021)×2011

2

-2011]=

1

4022

（2011×2011-2011），
=

1

4022

×2011（2011-1）=1005，
∴x₁+x₂+…+x₂₀₁₀=

1005

2009

．

点评：本题考查的是整数问题的综合运用，根据题意设出所求的2010个互不相等的有理数，再得到关于x的方程组是解答此题的关键．