如图(a).已知直线EA与两坐标轴轴分别交于点E.A(0,2).过直线EA上的两个点F.G分别作轴的垂线.垂足分别为M.其中m＜0.n＞0． (1) 如果m=-4.n=1.试计算线段AN和AM的长.并判断△AMN的形状, (2) 如果mn=-4.(1)中有关△AMN的形状的结论还成立吗?如果成立.请证明,如果不成立.请说明理由, (3) 如图(b).题目中的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图(a)，已知直线EA与两坐标轴轴分别交于点E、A(0,2)，过直线EA上的两个点F、G分别作轴的垂线，垂足分别为M(m，0)、N(n，0)，其中m＜0，n＞0．

(1)

如果m=－4，n=1，试计算线段AN和AM的长，并判断△AMN的形状；

(2)

如果mn=－4，(1)中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

(3)

如图(b)，题目中的条件不变，如果mn=－4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线方程；

(4)

在(3)中，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的Q点坐标．

答案：
解析：

(1)	解：△AMN是直角三角形　　依题意得OA=2，OM=4，ON=1，∴MN=OM+ON=4+1=5 　　在Rt△AOM中，AM=== 　　在Rt△AON中，AN=== 　　∴MN²=AM²+AN² 　　∴△AMN是直角三角形
(2)	答：(1)中的结论还成立　　依题意得OA=2，OM=－m，ON=n 　　∴MN=OM+ON=n－m 　　∴MN²=(n－m)²=n²－2mn+m² 　　∵mn=－4 　　∴MN²=n²－2×(－4)+m²=n²+m²+8 　　又∵在Rt△AOM中，AM=== 　　在Rt△AON中，AN=== 　　∴AM²+AN²=4+m²+4+n²=n²+m²+8 　　∴MN²=AM²+AN² 　　∴△AMN是直角三角形
(3)	∵mn=－4，n=4 　　∴ 　　设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x–4)．　　∵抛物线经过点A(0，2)　∴–4a=2　解得a=– 　　∴所求抛物线的解析式为y=–(x+1)(x–4) 　　即y=–x²+x+2
(4)	抛物线的对称轴与x轴的交点Q₁符合条件，　　∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ₁，∴Rt△PNQ₁∽Rt△ANM 　　∵抛物线的对称轴为x=，∴该点坐标为Q₁(，0) 　　∴NQ₁=4–= 　　过点N作NQ₂⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q₂ 　　∴Rt△PQ₂N、Rt△NQ₂Q₁、Rt△PNQ₁和Rt△ANM两两相似　　∴即Q₁Q₂= 　　∵点Q₂位于第四象限，∴Q₂(，) 　　因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁(，0)，Q₂(，)