Question

如图，在△ABC中，DE∥BC，在AB上取一点F，使S_△BFC=S_△ADE．
求证：AD²=AB•BF．

Answer 1

证明：作EM⊥AB于M，CN⊥AB于N，
∴∠EMD=∠CNB=90°，
∴ME=sin∠ADE•ED，CN=sin∠B•BC．
∵S_△BFC=S_△ADE．
∴AD•ED•sin∠ADE=BF•BC•sin∠B，
∴AD•ED•sin∠ADE=BF•BC•sin∠B．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴sin∠ADE=sin∠B．
∴AD•ED=BF•BC．
即．
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
即AD²=AB•BF．
分析：作EM⊥AB于M，CN⊥AB于N，由三角函数值就可以表示出ME=sin∠ADE•ED，CN=sin∠B•BC，由三角形的面积关系就可以得出AD•ED•sin∠ADE=BF•BC•sin∠B，进而可以得出AD•ED=BF•BC，即，再由DE∥BC就可以得就可以得出而得出结论．
点评：本题考查了三角函数正弦值的运用，三角形面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，证明时找到代换的中间比是解答本题的关键．