Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．
（1）求AD的长；
（2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）点F、E在运动过程中，如△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．

Answer 1

分析：（1）首先根据已知条件“BD⊥DC，∠A=90°”及平行线的性质（两直线AD∥CB，内错角∠ADB=∠DBC）证明△ABD∽△DCB；然后由勾股定理及相似三角形的对应边成比例求得AD的长度；
（2）过点E作BC的垂线，垂足为G．在Rt△DBC和在Rt△EGC中，利用正弦函数求得EG=

4

5

t，然后利用割补法求得四边形EFDB的面积；
（3）分两种情况：①当∠BDC=∠FEC=90°时，求BF的长；②当∠BDC=∠EFC=90°时，求BF的长．

解答：解：（1）∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
又BD⊥DC，∠A=90°
∴∠A=∠BDC=90°
∴△ABD∽△DCB（2分）
在直角三角形BDC中，BD=

BC2-DC2

=8，
∴

AD

DB

=

BD

BC

，即

AD

8

=

8

10

，
解得：AD=6.4cm（1分）

（2）过点E作BC的垂线，垂足为G，
在Rt△DBC中，sin∠C=

4

5

，
在Rt△EGC中，∴EG=

4

5

t，
∴y=S△DBC-S△EFC=

1

2

×6×8-

1

2

(10-2t)•

4

5

t=

4

5

t2-4t+24（0＜t＜5）（3分）

（3）当∠BDC=∠FEC=90°，

CE

CD

=

CF

CB

，即

t

6

=

10-2t

10

，求出t=CE=

30

11

cm，则BF=2t=

60

11

cm；
当∠BDC=∠EFC=90°，

CE

CB

=

CF

CD

，代入求出CF=

30

13

cm，则BF=BC-CF=

100

13

cm；
综上所述：BF=

60

11

cm或者BF=

100

13

cm．（2分）

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、直角梯形．解（3）题时，原题中没有提出△CEF与△BDC相似的对应角与对应边，所以应分类讨论：①△BDC∽△FEC；②△BDC∽△EFC，防止漏解．