Question

【题目】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BCA＝90°，AC＝BC，点M、N在斜边AB上，且∠MCN＝45°，试探究线段AM,，MN，BN之间的关系，并说明理由。.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN．只要证明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再证明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解决问题．

解：BN2+AM2＝MN2.理由如下：

如图，过点A作AD⊥AB，且AD＝BN，

∵AD＝BN，∠DAC＝∠B＝45°，AC＝BC，

∴△ADC≌△BNC，

∴CD＝CN，∠ACD＝∠BCN，

∵∠MCN＝45°，

∴∠DCA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°

∴∠MCD＝∠NCM，

∴△MDC≌△MNC（SAS），

∴MD＝MN，

在Rt△MDA中，AD2+AM2＝DM2，

∴BN2+AM2＝MN2.