Question

小知识：如图，我们称两臂长度相等（即CA=CB）的圆规为等臂圆规．当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时，若张角∠ACB=x°，则底角∠CAB=∠CBA=（90-

x

2

）°．
请运用上述知识解决问题：如图，n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下：∠A₁C₁A₂=160°，∠A₂C₂A₃=80°，∠A₃C₃A₄=40°，∠A₄C₄A₅=20°，…

（1）①由题意可得∠A₁A₂C₁=

 

°；
②若A₂M平分∠A₃A₂C₁，则∠MA₂C₂=

 

°；
（2）∠A_n+1A_nC_n=

 

°（用含n的代数式表示）；
（3）当n≥3时，设∠A_n-1A_nC_n-1的度数为a，∠A_n+1A_nC_n-1的角平分线A_nN与A_nC_n构成的角的度数为β，那么a与β之间的等量关系是

 

，请说明理由．（提示：可以借助下面的局部示意图）

Answer 1

分析：利用角的和差关系计算，注意利用等腰三角形的性质．

解答：解：（1）①10；②35；

（2）∠A_n+1A_nC_n是△A_n+1A_nC_n的底角，顶角是：

160

2n

=

80

2n-1

°，则
）∠A_n+1A_nC_n=(90-

80

2n-1

)°；（注：写成(90-

160

2n

)的不扣分，丢掉括号的不扣分）

（3）α-β=45°；理由：不妨设∠C_n-1=k．
根据题意可知，∠Cn=

k

2

．在△A_nA_n-1C_n-1中，由小知识可知∠A_n-1A_nC_n-1=α=90°-

k

2

．∴∠A_n+1A_nC_n-1=180°-α=90°+

k

2

．
在△A_n+1A_nC_n中，由小知识可知∠A_n+1A_nC_n=90°-

k

4

．
∵A_nN平分∠A_n+1A_nC_n-1，
∴∠1=

1

2

∠A_n+1A_nC_n-1=45°+

k

4

．
∵∠A_n+1A_nC_n=∠1+∠C_nA_nN，
∴90°-

k

4

=45°+

k

4

+β．
∴90°-

k

2

=45°+β．
∴α=45°+β．
∴α-β=45°．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等．