Question

如图，已知AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于E，AD⊥EC于D且交⊙O于F．
（1）求证：AD+DF=AB；
（2）若CE=

10

3

，EB=

5

3

，求△ADE的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC，BF 两直线的交点为N，求证△BNO∽△BFA，求证四边形NCDF是个长方形，然后AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，即可得出结论；
（2）根据切割线定理求得AE，再利用△ECO∽△EDA求出AD，再利用勾股定理求出ED，最后由三角形面积公式求解．

解答：（1）证明：连接OC，BF，两直线的交点为N
∵AD⊥EC，OC⊥ED，
∴△BNO∽△BFA，
∴

AF

ON

=

AB

BO

，
∴AF=2ON，
∵∠BFA=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴四边形NCDF是个长方形，
∴DF=CN，
AD+DF=AF+2DF=2ON+2CN=2OC，
∵OC是半径，AB是直径，
∴AD+DF=AB；

（2）解：∵EC是⊙O的切线，CE=

10

3

，EB=

5

3

，
∴EC²=EB•AE，
∴AE=

20

3

，
∴AB=AE-BE=5．
∵AD⊥EC，EC是⊙O的切线，
∴∠ECO=∠EDA=90°
∴△ECO∽△EDA，
∴

OC

AD

=

EO

EA

，即

5 2

AD

=

25 6

20 3

，
∴AD=4，
∴在直角△AED中，由勾股定理得到ED=

AE2-AD2

=

( 20 3 )2-42

=

16

3

．
则△ADE的面积是：

1

2

AD•ED=

1

2

×4×

16

3

=

32

3

．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，切线的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，第（1）题中连接OC，BF 两直线的交点为N，这是证明此题的突破点，此题属于中档题．