Question

如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为 ；

（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，四边形PEBF是矩形，所以PF=BE,因为在矩形ABCD中，点P是AC的中点，所以AE=BE=PF,又∠APE=∠ACB=30°，可得PE=AE,所以;（2）过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，可证△PME∽△PNF．然后可得．

试题解析：（1）．

（2）如答图1，

过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN．

又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF．

∴．

由（1）知，，

∴．

考点：1．矩形的性质；2．解直角三角形；3．相似三角形的判定与性质．