Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，
（1）求证：CE平分∠BCD；
（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；
（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）

Answer 1

分析：（1）过点E作EF⊥CD，垂足为F，利用角平分线的性质以及其判定得出即可；
（2）首先得出S_△DEC的面积，进而得出Rt△ADE≌Rt△FDE，Rt△BCE≌Rt△FCE，S_{四边形ABCD}=2S_△DEC，进而求出即可；
（3）由（2）得：AD=DF，FC=BC，则AD+BC=CD，利用S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AB=300，进而得出CD的长．

解答：（1）证明：过点E作EF⊥CD，垂足为F，
∵DE平分∠ADC∠A=90°，
∴EA=EF（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=BE，
∵∠B=90°，
∴CE平分∠BCD（到角两边距离相等的点在角的平分线上）；

（2）解：∵四边形ABCD中∠A=∠B=90°
∴∠ADC+∠BCD=180°
∵∠EDC=

1

2

∠ADC，∠ECD=

1

2

∠BCD
∴∠EDC+∠ECD=90°
∴∠DEC=90°
∴S_△DEC=

1

2

DE×CE=

1

2

×15×20=150，
∵在Rt△ADE和Rt△FDE中

AE=EF DE=DE

，
∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），
在Rt△BCE和Rt△FCE中

EC=EC EB=FE

，
∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），
∴S_{四边形ABCD}=2S_△DEC=300；

（3）解：由（2）得：AD=DF，FC=BC，
∴AD+BC=CD，
∵S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×AB，
由（2）知S_梯形ABCD=300，
∴

1

2

（AD+BC）×AB=300，
∴CD=25．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质与定理和梯形的面积求法，熟练利用角平分线的性质与判定是解题关键．