题目内容

如图，已知等腰△ABC，AB=AC，过A、C两点的圆⊙O切AB于A，BC的延长线交⊙O于D，∠ABD的角平分线交AC于E，交AD于F．
（1）求证：AE=AF；（2）若AC=CD=2，求AD．

（1）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠AEF=∠BAC+ $\text{[math]}$ ∠ABC，∠AFE=∠ADB+ $\text{[math]}$ ∠ABC，
又∵∠BAC=∠ADB，
∴AE=AF；

（2）解：∵AB是⊙O切线，AC=CD=2，
∴AB²=BC•BD
∴4=BC×（BC+2）
∴BC= $\text{[math]}$ -1，BC=- $\text{[math]}$ -1（舍去），
∵AC=CD=2，
∴∠CAD=∠D，
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAC=∠D，
∴AC是∠BAD的平分线，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴AD= $\text{[math]}$ ．
答；AD的长为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据弦切角定理可知∠BAC=∠ADB，由∠ABD的角平分线交AC于E，交AD于F，可得∠AEF=∠BAC+ $\text{[math]}$ ∠ABC，∠AFE=∠ADB+ $\text{[math]}$ ∠ABC，问题得证；
（2）根据AC=CD=2，利用切割线定理求出BC，再求证AC是∠BAD的平分线，然后可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即可得出答案，
点评：此题主要考查学生对切割线定理、弦切角定理的理解和掌握，解答（2）的关键是利用切割线定理求出BC，然后再利用角平分线的性质即可求出AD．