Question

在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．
（1）如图1，请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．直接写出结论．
（2）若点P在DC的延长线上（如图2），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系，并证明．
（3）若点P在CD的延长线上呢（如图3）？请分别直接写出结论并简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可知证出△ABE≌△DAF，根据全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可得：BE=AF，AE=DF，得出BE=EF+DF；
（2）同（1）的证法相同，先证明△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性质可得：BE=AF，BE=DF，再根据等量代换可得出图（2）中DF=EF+BE；
（3）同（1）的证法相同，可得出图（3）中EF=EB+FD．

解答：（1）BE=EF+DF，
证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∵在△BAE和△ADF中

∠BEA=∠AFD ∠BAE=∠ADF AB=AD

，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

（2）DF=BE+EF，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中：

∠ABE=∠DAF ∠BEA=∠AFD=90° AB=DA

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE=AF+EF，
∴DF=EB+EF．

（3）EF=BE+DF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△ABE和△DAF中：

∠BEA=∠AFD=90° ∠1=∠2 AB=DA

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF（全等三角形对应边相等），
∵EF=AF+AE，
∴EF=EB+FD（等量代换）．

点评：此题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．关键是熟练掌握：①正方形的性质：正方形四条边相等，四个角相等；②判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、AAS、ASA．