Question

【题目】阅读理解：对于任意正实数a、b，∵≥0，　∴≥0，

∴≥，只有当a＝b时，等号成立．

结论：在≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a＝b时，a+b有最小值．

根据上述内容，回答下列问题：

若m＞0，只有当m＝ 时，有最小值 ．

思考验证：如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD＝a，DB＝b．

试根据图形验证≥，并指出等号成立时的条件．

探索应用：如图2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P为双曲线（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

Answer 1

【答案】阅读理解：1；2；思考验证：证明见解析；当CD等于半径时，等号成立；探索应用：24；菱形．

【解析】

阅读理解：读懂题意即可得到结果；

思考验证：先证Rt△CAD∽Rt△BCD，根据相似三角形的对应边乘比例即可表示出CD，分两种情况讨论：

若点D与O不重合，连OC，在Rt△OCD中，；若点D与O重合，

综上所述，，当CD等于半径时，等号成立.

探索应用：设出点P的坐标，即可表示出CA、DB，从而得到四边形ABCD面积的函数关系式，根据函数关系式的特征即可得到结果．

解：（1）∵a+b≥（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a=b时，a+b有最小值2．
∴，

∴，
当m=时，

解得：m=1或-1（不合题意舍去），

故当m=1（填不扣分），最小值是2；

故答案为：1；2；

思考验证：∵AB是的直径，

∴AC⊥BC

又∵CD⊥AB

∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B

∴Rt△CAD∽Rt△BCD, CD2=AD·DB, ∴CD=　　

若点D与O不重合，连OC，在Rt△OCD中，

∵OC>CD,

∴，

若点D与O重合时，OC=CD，∴　

综上所述，，即，当CD等于半径时，等号成立.

探索应用：设,　则,，

，化简得：

，只有当，

即时，等号成立

∴S≥2×6＋12＝24，

∴S四边形ABCD有最小值24.

此时，P(3，4)，C(3，0)，D(0，4)，AB=BC=CD=DA=5

∴四边形ABCD是菱形．