Question

如图，已知直线y=kx-3经过点M，则与此直线、x轴、y轴都相切的圆的圆心坐标为

（-

9-3 5

4

，-

9-3 5

4

）或（-

9+3 5

4

，-

9+3 5

4

）或（-

3 5 -3

4

，

3 5 -3

4

）或（

3 5 +3

4

，-

3 5 +3

4

）

．

Answer 1

分析：由直线y=kx-3经过M点，故将M的坐标代入直线方程中求出k的值，确定出直线的解析式，然后令y=0，求出x的值，即为A的横坐标，令x=0求出y的值，即为B的纵坐标，进而确定出OA及OB的长，设所求圆的半径为r，分四种情况考虑：当圆心C在三角形OAB内部时，如图所示，连接OD，OE，OF，在直角三角形AOB中，由OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据切线长定理得到AD=AE，OD=OF=r，BE=BF，用OA-OD表示出AD，用OB-OF表示出BF，再由AB=AE+EB=AD+BF，将表示出的AD及BF代入，得到关于r的方程，求出方程的解得到r的值，确定出此时圆心C的坐标；当圆心C在三角形AOB外部，且在第三象限时，如图所示，根据切线长定理得到OD=OE=r，AD=AF，BE=BF，由AB=AF+FB=AD+BE，再由OD-OA表示出AD，OE-OB表示出BE，代入可得出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，确定出此时圆心C的坐标；当圆心C在三角形AOB外部，且在第二象限或第四象限时，同理可得出圆心C的坐标，综上，得到所有满足题意的圆心坐标．

解答：解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，
∴-2k-3=1，解得k=-2，
∴直线的解析式为y=-2x-3，
令y=0，可得x=-

3

2

，∴直线与x轴的交点A坐标为（-

3

2

，0），即OA=

3

2

，
令x=0，可得y=-3，∴直线与y轴的交点B坐标为（0，-3），即OB=3，
设所求圆的半径为r，
当圆心在△AOB内部时，圆心C坐标为（-r，-r），如图所示：

设圆C与x轴相切于点D，与y轴相切于点F，与直线y=-2x+3相切于点E，连接CD，CE，CF，
根据切线长定理得到：AD=AE，BE=BF，OD=OF，
在Rt△AOB中，由OA=

3

2

，OB=3，根据勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

3 5

2

，
又AB=AE+BE=AD+BF=OA-OD+OB-OF=OA+OB-2r=

3

2

+3-2r，
∴

3

2

+3-2r=

3 5

2

，解得：r=

9-3 5

4

，
则此时圆心C坐标为（-

9-3 5

4

，-

9-3 5

4

）；
当圆心在△AOB外部，并在第三象限时，如图所示：

设此时圆心C坐标为（-r，-r），根据切线长定理得到AD=AF，BF=BE，
∴AB=AF+FB=AD+BE=OD-OA+OE-OB=2r-3-

3

2

，又AB=

3 5

2

，
∴2r-3-

3

2

=

3 5

2

，解得：r=

9+3 5

4

，
则此时圆心C坐标为（-

9+3 5

4

，-

9+3 5

4

）；
当圆心在△AOB外部，并在第二象限时，如图所示：

设圆心C坐标为（-r，r），根据切线长定理得到BF=BE，AF=AD，OD=OE，
∵BE=BO+OE=3+r，∴BF=3+r，
又AB=

3 5

2

，∴AD=AF=BF-AB=3+r-

3 5

2

，
∴AO=AD+OD=3+r-

3 5

2

+r=

3

2

，解得：r=

3 5 -3

4

，
则此时圆心C坐标为（-

3 5 -3

4

，

3 5 -3

4

）；
当圆心在△AOB外部，并在第四象限时，如图所示：

设圆心C的坐标为（r，-r），根据切线长定理得到OD=OE=r，BE=BF，AD=AF，
∵AO=

3

2

，∴AF=AD=AO+OD=

3

2

+r，
又AB=

3 5

2

，∴BF=BE=AF-AB=

3

2

+r-

3 5

2

，
又BF=BE=OB-OE=3-r，
∴

3

2

+r-

3 5

2

=3-r，解得：r=

3 5 +3

4

，
则此时圆心C坐标为（

3 5 +3

4

，-

3 5 +3

4

），
综上，所求圆心的坐标为（-

9-3 5

4

，-

9-3 5

4

）或（-

9+3 5

4

，-

9+3 5

4

）或（-

3 5 -3

4

，

3 5 -3

4

）或（

3 5 +3

4

，-

3 5 +3

4

）．
故答案为：（-

9-3 5

4

，-

9-3 5

4

）或（-

9+3 5

4

，-

9+3 5

4

）或（-

3 5 -3

4

，

3 5 -3

4

）或（

3 5 +3

4

，-

3 5 +3

4

）

点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，利用待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了等量代换、分类讨论及转化的数学思想，集中了函数与圆，以及三角形、四边形的综合性题，要求学生对所学知识融汇贯穿，灵活运用，培养了学生分析问题，解决问题的能力．