Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D．过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若AC＝6，BC＝8，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO＝∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD＝∠DAO＝∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C＝90°即可得出∠ODB＝90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD＝r，则BO＝10﹣r，由OD∥AC可得出＝，代入数据即可求出r值，再根据BE＝AB﹣AE即可求出BE的长度．

（1）证明：连接OD，如图所示．

在Rt△ADE中，点O为AE的中点，

∴DO＝AO＝EO＝AE，

∴点D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO．

又∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠DAO，

∴∠ADO＝∠CAD，

∴AC∥DO．

∵∠C＝90°，

∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC．

又∵OD为半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵在Rt△ACB中，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝＝10．

设OD＝r，则BO＝10﹣r．

∵OD∥AC，

∴△BDO∽△BCA，

∴，即，

解得：r＝，

∴BE＝AB﹣AE＝10﹣＝．