Question

如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的角为α，AC+BD=10，当AC、BD的长等于

 

时，则四边形ABCD的面积最大是

 

．

Answer 1

分析：根据四边形面积公式，S=

1

2

AC×BD×sina，根据sina≤1得出S=

1

2

x（10-x）sina≤

1

2

x（10-x），再利用二次函数最值求出即可．

解答：解：∵AC与BD夹角为a，
∴根据四边形面积公式，得S=

1

2

AC×BD×sina，
设AC=x，则BD=10-x，
所以S=

1

2

x（10-x）×sina；
∵sina≤1，即S=

1

2

x（10-x）sina≤

1

2

x（10-x），
∵S=-

1

2

（x²-10x），
∴S=-

1

2

（x-5）²+

25

2

，
所以有x=5，S有最大值

25

2

，
∴AC=BD=10-x=5，
所以有AC=BD=5时，四边形ABCD面积最大为

25

2

．
故答案为：5，

25

2

．

点评：此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值和锐角三角函数的取值范围，得出

1

2

x（10-x）sina≤

1

2

x（10-x）进而利用二次函数最值求出是解决问题的关键．