Question

如图，正方形ABCD的边长是4，M是AD的中点．动点E在线段AB上运动．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）求证：△GEF是等腰三角形；
（2）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在点E运动过程中△GEF是否可以成为等边三角形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）四边形ABCD是正方形，正方形的四个边相等且对边平行，四个角都是直角，很容易证明△AME≌△DMF，从而可得出结论．
（2）设AE=x时，△EGF的面积为y，有两种情况，当点E与点A重合时，即x=0时，可求出y的值，当点E不与点A重合时，0＜x≤4，根据条件可证明Rt△AEM∽Rt△NGM，根据相似三角形的对应边成比例，可得出函数式．
（3）不可能，因为EF=MG，EG＞MG所以EG＞EF，所以不可能是等边三角形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠MDF（1分），
在△AME和△DMF中，
∵

∠AME=∠FMD AM=DM ∠A=∠MDF

∴△AME≌△DMF（1分）
∴EM=FM（1分）
又∵GM⊥EF，∴EG=FG（1分）

（2）解：当点E与点A重合时，如右图所示，x=0，y=

1

2

AD×MG=

1

2

×4×4=8（1分）
当点E不与点A重合时，0＜x≤4
∵EM=FM
在Rt△AME中AE=x，AM=2，ME=

x2+4

∴EF=2ME=2

x2+4

（1分）
过M作MN⊥BC，垂足为N
则∠MNG=90°∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AEM∽Rt△NGM（1分）
∴

AM

MN

=

ME

MG

即

ME

MG

=

1

2

∴MG=2ME=2

x2+4

（1分）
∴y=

1

2

EF×MG=

1

2

×2

x2+4

×2

x2+4

=2x²+8（2分）
∴y=2x²+8其中0＜x≤4（1分）

（3）解：不可能（1分）
∵EF=MG=2

x2+4

（1分）
在Rt△MEG中EG＞MG
∴EG＞EF（1分）
∴△EFG不可能是等边三角形

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质定理，相似三角形的判定和性质定理，以及全等三角形的判定正方形的性质等．