Question

在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，当点F为AD中点时，∠ECF的正弦值是（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  3

  4

• C．

  1

  12

• D．

  6

  6

Answer 1

分析：由在矩形ABCD中，BC=4，点F为AD中点，可求得AF=2，易证得△AEF∽△CEB，由相似三角形的对应边成比例，可得BF=3FE，继而求得答案．

解答：解：∵点F为AD中点，且AD=BC=4，
∴AF=

1

2

AD=2，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴

AE

CE

=

FE

BE

=

AF

CB

=

2

4

=

1

2

，
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵F为AD的中点，由对称性，得到BF=CF，
∴sin∠ECF=

EF

CF

=

EF

BF

=

1

3

．
故选A．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．