Question

已知二次函数y＝x²－2(m－1)x＋m²－2m－3，其中m为实数．

(1)求证不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；

(2)设这个二次函数的图像与x轴交于点A(x₁，0)B(x₂，0)，且x₁、x₂的倒数和为，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3， 　　当y＝0时，x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0， 　　Δ＝4(m－1)2－4(m2－2m－3)＝16＞0， 　　∴方程有两个实数根，∴不论m为何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点． 　　(2)由题意知＋＝， 　　又x1＋x2＝2(m－1)，x1x2＝m2－2m－3， 　　∴＋＝＝＝． 　　∴2m2－4m－6＝6(m－1)，解得m1＝0，m2＝5． 　　∴函数解析式为y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12．