Question

已知Rt△ABC和Rt△ADE，∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，P为线段BD的中点，连接PC，PE．
（1）如图1，若AC=AE，C、A、E依次在同一条直线上，则∠CPE=

 

；PC与PE存在的等量关系是

 

；
（2）如图2，若AC≠AE，C、A、E依次在同一条直线上，猜想∠CPE的度数及PC与PE存在的等量关系，并写出你的结论；（不需要证明）

 

；
（3）如图3，在图2的基础上，若将Rt△ADE绕点A逆时针任意旋转一个角度，使C、A、E不在一条直线上，试探究∠CPE的度数及PC与PE存在的等量关系，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用“角边角”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=DE，延长CP、ED，相交于点F，根据中点定义可得BP=DP，再求出BC∥DE，然后利用两直线平行，内错角相等求出∠F=∠BCP，然后利用“角角边”证明△BCP和△DFP全等，根据全等三角形对应边相等可得CP=PF，BC=DF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PC=PE=PF，根据等边对等角可得∠F=∠PEF，再根据三角形的中位线定理可得∠F=∠ADE，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（2）延长CP、ED，相交于点F，根据中点定义可得BP=DP，再求出BC∥DE，然后利用两直线平行，内错角相等求出∠F=∠BCP，然后利用“角角边”证明△BCP和△DFP全等，根据全等三角形对应边相等可得CP=PF，BC=DF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PC=PE=PF，根据等边对等角可得∠F=∠PEF，再解直角三角形求出AC=

3

BC，AE=

3

DE，然后求出

AE

AC

=

DE

DF

，根据平行线分线段成比例定理求出AD∥CF，求出∠F=∠ADE，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
（3）取AB的中点M，AD的中点N，连接CM、PM、EN、PN，利用三角形中位线定理求出PM∥AD，PN∥AB，然后求出四边形AMPN是平行四边形，根据平行四边形的对边相等和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CM=PN，PM=NE，再求出∠PMC=∠ENP，然后利用“边角边”证明△PMC和△ENP全等，根据全等三角形对应边相等可得PC=PE，全等三角形对应角相等可得∠PCM=∠EPN，然后求出∠CPE=∠CPM+∠PCM+∠PMB，再利用三角形内角和定理列式计算即可求出∠CPE=120°．

解答：解：（1）在△ABC和△ADE中，

∠ACB=∠AED AC=AE ∠BAC=∠DAE

，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC=DE，
如图1，延长CP、ED，相交于点F，
∵P为线段BD的中点，
∴BP=DP，
∵∠ACB=∠AED=90°
∴BC∥DE，
∴∠F=∠BCP，
在△BCP和△DFP中，

∠F=∠BCP ∠BPC=∠DPF BP=DP

，
∴△BCP≌△DFP（AAS），
∴CP=PF，BC=DF，
∴PC=PE=PF，
∴∠F=∠PEF，
又∵BC=DE=DF，AC=AE，
∴AD是△CEF的中位线，
∴AD∥CF，
∴∠F=∠ADE，
∵∠DAE=30°，∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-30°=60°，
∴∠CPE=∠F+∠PEF=2∠F=2∠ADE=2×60°=120°；

（2）如图2，延长CP、ED，相交于点F，
∵P为线段BD的中点，
∴BP=DP，
∵∠ACB=∠AED=90°
∴BC∥DE，
∴∠F=∠BCP，
在△BCP和△DFP中，

∠F=∠BCP ∠BPC=∠DPF BP=DP

，
∴△BCP≌△DFP（AAS），
∴CP=PF，BC=DF，
∴PC=PE=PF，
∴∠F=∠PEF，
∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，
∴AC=

3

BC，AE=

3

DE，
∴然后求出

AE

AC

=

DE

BC

=

DE

DF

，
∴AD∥CF，
∴∠F=∠ADE，
∴∠CPE=∠F+∠PEF=2∠F=2∠ADE=2×60°=120°；

（3）∠CPE=120°，PC=PE．
理由如下：如图3，取AB的中点M，AD的中点N，连接CM、PM、EN、PN，
∵P为线段BD的中点，
∴PM∥AD，PN∥AB，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴PM=AN，PN=AM，
∠AMA=∠PNA，
∴180°-∠AMA=180°-∠PNA，
即∠PMB=∠PND，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，AM=CM，EN=AN，
∴CM=PN，PM=EN，
∠BMC=2∠BAC=2×30°=60°，
∠DNE=2∠DAE=2×30°=60°，
∴∠PMB+∠BMC=∠PND+∠DNE，
即∠PMC=∠ENP，
在△PMC和△ENP中，

CM=PN ∠PMC=∠ENP PM=EN

，
∴△PMC≌△ENP（SAS），
∴PC=PE，∠PCM=∠EPN，
∵四边形AMPN的对边PN∥AM，
∴∠MPN=∠PMB，
∴∠CPE=∠CPM+∠MPN+∠EPN=∠CPM+∠PMB+∠PCM，
在△PMC中，∠CPM+∠PMB+∠PCM=180°-∠BMC=180°-60°=120°，
所以，∠CPE=120°．

点评：本题是四边形综合题型，主要利用了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行四边形的判定与性质，以及三角形的内角和定理，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．