Question

如图，∠A的顶点为A（0，3），两边分别经过点B（4，0）、C（0，-2）．AD平分∠A并与x轴相交于点D，连接CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）求tan∠ACD的值．

Answer 1

分析：（1）由A（0，3），B（4，0），C（0，-2），即可求得AB的值，即可求得AB=AC，又由∠BAD=∠BAC，AD=AD，易证：△ABD≌△ACD，则根据全等三角形的性质即可证得BD=CD；
（2）由△ABD≌△ACD，可证得∠ACD=∠ABD，由三角函数的性质，即可求得tan∠ACD的值．

解答：（1）证法一：∵A（0，3），B（4，0），C（0，-2），
∴AB=

32+42

=5，AC=5，
∴AB=AC．
又∵∠BAD=∠BAC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．

证法二：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，
∴DO=DE，
设DO=DE=x，
∵∠ABO=∠ABO，
∴Rt△BED∽Rt△BOA．
∴

AB

DB

=

AD

DE

．
∵A（0，3），B（4，0），
∴AB=

32+42

=5，
∴

5

4-x

=

3

x

，
解得：x=

3

2

，即DO=

3

2

，
从而BD=4-

3

2

=

5

2

．
在Rt△BOD中，CD=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，
∴BD=CD．

证法三：∵A（0，3），B（4，0），C（0，-2），
∴AB=

32+42

=5，AC=5，
过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，
∴DO=DE，
∴EB=AB-AE=5-3=2=OC，
∴Rt△BED≌Rt△COD，
∴BD=CD．

证法四：连接CB，延长AD交CB于E．
∵A（0，3），B（4，0），C（0，-2），
∴AB=

32+42

=5，AC=5，
∴AB=AC．
又∵AE平分∠BAC，
∴AE垂直平分CB，
∴BD=CD．

（2）解法一：∵△ABD≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABD，
∴tan∠ACD=tan∠ABD=tan∠ABO=

OA

OB

=

3

4

．

解法二：设点D（x，0），则BD=CD=4-x，
在Rt△COD中，x²+2²=（4-x）²，
解得：x=

3

2

．
∴D（

3

2

，0）．
∴tan∠ACD=tan∠OCD=

OD

OC

=

3 2

2

=

3

4

．

点评：此题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识．此题难度适中，解题时要注意数形结合思想的应用．