Question

如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB边上，过点E作EF⊥BC，延长FE交⊙O的切线AG于点G．

（1）求证：GA=GE．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OA，

∵AG切⊙O点A，

∴∠GAO=90°．

∴∠BAO+∠GAE=90°．………………………………………1

∵EF⊥BC，       

∴∠ABO+∠BEF=90°．

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO．

∴∠GAE=∠BEF．

∵∠BEF=∠GEA，

∴∠GEA=∠GAE．

∴GA=GE．……………………………………………………2

（2）解：∵BC为直径，

∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，

∴BC=10，…………………………………………………………………………………………3

∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，

∴△BEF∽△BCA，

∴

∴EF=，BF=，

∴OF=OB﹣BF=5﹣=，……………………………………………………………………4

∴OE=．……………………………………………………………………5