Question

已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE：AB=3：5，若CE=

2

，cos∠ACD=

4

5

，求tan∠AEC的值及CD的长．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：根据“同角的余角相等”得到，∠ABC=∠ACD，然求同角的余弦三角函数得到

BC

AB

=

4

5

．令BC=4k，AB=5k，则AC=3k．由BE：AB=3：5，知BE=3k．所以在Rt△ACE中，tan∠AEC=

AC

CE

=3，则易求CD=

12

5

2

．

解答：解：在Rt△ACD与Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠ACD，
∴cos∠ABC=cos∠ACD=

4

5

在Rt△ABC中，

BC

AB

=

4

5

令BC=4k，AB=5k，则AC=3k
由BE：AB=3：5，知BE=3k
则CE=k，且CE=

2

，则k=

2

，AC=3

2

．
∴Rt△ACE中，tan∠AEC=

AC

CE

=3，
∵Rt△ACD中，cos∠ACD=

CD

AC

=

4

5

，
∴CD=

12

5

2

．

点评：本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．