题目内容

如图，直线 $数学公式$ 交x轴于A，该直线与抛物线 $数学公式$ 在第二象限内的交点是B，BD⊥x轴，垂足为D，且△ABD的面积是9．
（1）求点B的坐标及抛物线的解析式；
（2）抛物线与直线y₁的另一个交点为Q，P是线段QB上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，若P的坐标是（m，n），请用关于m的代数式表示线段PE长度；
（3）连接线段BE，QE，是否存在P点，使△QBE的面积S最大？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）当y=0时，- $\text{[math]}$ x+2=0，
解得x=4，
∴点A的坐标是（4，0），
设点B的横坐标是x，则纵坐标为- $\text{[math]}$ x+2，
∴S_△ABD= $\text{[math]}$ （4-x）×（- $\text{[math]}$ x+2）=9，
整理得，（x-4）²=36，
解得x=-2或x=10（舍去），
- $\text{[math]}$ x+2=- $\text{[math]}$ ×（-2）+2=3，
∴点B的坐标是（-2，3），
∵直线与抛物线 $\text{[math]}$ 在第二象限内的交点是B，
∴4a- $\text{[math]}$ ×（-2）-2=3，
解得a= $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式是y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2；
故答案为：B（-2，3）；抛物线的解析式是y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2；

（2）直线与抛物线解析式联立得， $\text{[math]}$ ，

解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴点Q坐标是（4，0），
∵点A坐标也是（4，0），
∴点Q与点A重合，
∵P是线段QB上的一个动点，P的坐标是（m，n），
∴n=- $\text{[math]}$ m+2，
点E的纵坐标是 $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m-2，
∴PE=（- $\text{[math]}$ m+2）-（ $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m-2）=- $\text{[math]}$ m²+m+4；

（3）假设存在点P（m，n），
则S_△QBE=S_△PBE+S_△PEQ，
= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ m²+m+4）×[m-（-2）]+ $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ m²+m+4）×（4-m），
= $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ m²+m+4）×（m+2+4-m），
=- $\text{[math]}$ （m²-2m-8），
=- $\text{[math]}$ （m-1）²+ $\text{[math]}$ ，
∵- $\text{[math]}$ ＜0，
∴存在点P，使△QBE的面积S最大，
当点P的横坐标m=1时，△QBE的面积S最大值是 $\text{[math]}$ ，
此时n=- $\text{[math]}$ ×1+2= $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标是（1， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）先根据直线解析式求出点A的坐标，再设点B的横坐标为x，根据直线解析式表示出纵坐标，然后再根据△ABD的面积是9列出方程即可求出x的值，然后得到点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线解析式求出a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）联立直线的解析式与抛物线的解析式求出点Q的坐标，发现点A与点Q重合，再分别求出横坐标为m时的点P与点E的纵坐标的长度，根据两点间的距离即可表示出线段PE的长度；
（3）根据S_△QBE=S_△PBE+S_△PEQ，两三角形都以PE为底边，根据三角形面积公式列式并整理，然后再根据二次函数的最值问题进行求解．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有三角形面积的求解方法，待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，解一元二次方程，综合性较强，难度较大，设计本题的巧妙指出在于点A与点Q正好重合，是道不错的好题．