Question

【题目】如图，已知拋物线经过A（-1，0)，B(3,0)两点，与y轴相交于点C，该拋物线的顶点为点D.

（1）求该拋物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接AC,CD,DB,BC，设△AOC,△BOC,△BCD的面积分别为 S1，S2，S3，求证：.

（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN//BC交AC于点N,连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）点D的坐标为（1，-4）；（2）见解析（3）直线MN的解析式为.

【解析】

试题

（1）由抛物线过点A（-1，0)，B(3,0)可得其解析式为：，化简、再配方为顶点式，可得顶点D的坐标；

（2）连接AC，CD，DB，BC，由（1）中所求解析式可得点C的坐标，这样就可由A、B、C、D、O五点的坐标分别求出三个三角形△AOC，△BOC，△BCD的面积，从而可证得：.

（3）由题意可设点M的坐标为（m，0），其中-1<m<3，则AM=m+1；由已知和（2）可求得：AC=，AB=4；由MN∥BC可得：AM:AB=AN:AC，从而可得解得：AN=；由∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM，可得△AMN∽△ACM，因此：AM:AC=AN:AM，由此可列出关于m的方程，解方程求得m的值即可得到点M的坐标，然后利用已知可求得直线BC的解析式，再由MN∥BC，即可求得直线MN的解析式.

试题解析：

（1）∵抛物线过点A（-1，0)，B(3,0)

∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3),即y=x2-2x-3.

∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

∴点D的坐标为（1，-4）

（2）如下图，

∵当x=0时，y=x2-2x-3=-3,

∴C(0,-3)，

又∵A(-1,0),B(3,0),

∴,

,

.

∴.

∴△BCD为直角三角形，.

∴.

∵,,

∴.

（3）存在点M使∠AMN=∠ACM.

设点M的坐标为（m,0）(-1<m<3)，则MA=m+1,

,AB=1+3=4，

∵MN//BC,

∴AM:AB=AN:AC,即(m+1):AN=4:.

解得AN=.

∵∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM,

∴△AMN∽△ACM.

∴AM:AC=AN:AM.即(m+1)2=.

解得m1=-1（不合题意，舍去），.

∴点M的坐标为.

设直线BC的解析式为y=kx+b.

把B(3,0),C(0,-3)代入，得解得

∴直线BC的解析式为y=x-3.

又∵MN//BC,

∴设直线MN的解析式为y=x+n.

把点M的坐标代入，得.

∴直线MN的解析式为.