题目内容
【题目】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD. ∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=
∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系.
图1 图2 图3
(1)思路梳理
将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合.由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线. 易证△AFG
，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ；
(2)类比引申
如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF=
∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明.
(3)联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°. 若BD=1，EC=2，则DE的长为 .
【答案】（1）△AFE. EF=BE+DF.（2）BF=DF-BE，理由见解析；（3）
【解析】试题分析：（1）先根据旋转得： 
计算
即点
共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得结论EF=DF+DG=DF+AE；
（2）如图2，同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转
至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DFDG=DFBE;
（3）如图3，同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转
至△ACG，证明△AED≌△AEG，得
，先由勾股定理求
的长，从而得结论．
试题解析：(1)思路梳理：
如图1,把△ABE绕点A逆时针旋转
至△ADG，可使AB与AD重合，即AB=AD，
由旋转得：∠ADG=∠A=
，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=
+
=
，
即点F. D.G共线，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=
，
∵∠EAF=
，
∴
∴
∴
在△AFE和△AFG中，
∵
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
∴EF=DF+DG=DF+AE；
故答案为：△AFE，EF=DF+AE；
(2)类比引申：
如图2，EF=DFBE，理由是：
把△ABE绕点A逆时针旋转
至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，
由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∵∠BAD=
，
∴∠BAE+∠BAG=
，
∵∠EAF=
，
∴∠FAG=
=
，
∴∠EAF=∠FAG=
，
在△EAF和△GAF中，
∵
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG，
∴EF=DFDG=DFBE;
(3)联想拓展：
如图3,把△ABD绕点A逆时针旋转
至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，
由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，
∵∠BAC=
，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=
，
∴∠ACG=∠B=
，
∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=
+
=
，
∵EC=2，CG=BD=1，
由勾股定理得： 
∵∠BAD=∠CAG,∠BAC=
，
∴∠DAG=
，
∵∠BAD+∠EAC=
，
∴∠CAG+∠EAC=
=∠EAG，
∴∠DAE=
，
∴∠DAE=∠EAG=
，
∵AE=AE，
∴△AED≌△AEG，
∴
