Question

（2013•河池）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是

5

．

Answer 1

分析：设BE=x，则EC=4-x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=

x(4-x)

4

，则DF=4-FC=4-

x(4-x)

4

=

1

4

x²-x+4=

1

4

（x-2）²+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF²=AD²+DF²，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为

42+32

=5．

解答：解：设BE=x，则EC=4-x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴

AB

EC

=

BE

FC

，即

4

4-x

=

x

FC

，解得FC=

x(4-x)

4

，
∴DF=4-FC=4-

x(4-x)

4

=

1

4

x²-x+4=

1

4

（x-2）²+3
当x=2时，DF有最小值3，
∵AF²=AD²+DF²，
∴AF的最小值为

42+32

=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了正方形的性质以及二次函数的最值问题．