Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OA＞OB，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标x_A，x_B是关于x的方程x²-（m+2）x+n-1=0的两根．
（1）求m，n的值；
（2）若∠ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；
（3）过点D任作一直线l′分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则

1

CM

+

1

CN

的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）∵以AB为直径的圆过点C，∴∠ACB=90°，而点C的坐标为（0，2），
由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO²=AO•BO，（1分）
即：4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
∵OA＞OB，∴AO=4，
即x_A=-4，x_B=1．（2分）
由根与系数关系有：

xA+xB=m+2 xA•xB=n-1

，
解之m=-5，n=-3．（4分）

（2）如图，过点D作DE∥BC，交AC于点E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，易得AC=2

5

，BC=

5

，（5分）
∵DE∥BC，∴

AD

DB

=

AE

EC

，∵DE=EC，∴

AD

BD

=

AE

DE

，
又△AED∽△ACB，有

AE

ED

=

AC

BC

，∴

AD

DB

=

AC

BC

=2，（6分）
∵AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=

5

3

，
则OD=

2

3

，即D（-

2

3

，0），（7分）
易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）
解法二：过D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，
由S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC′
求得DE=

2

3

5

．（5分）
又S_△BCD=

1

2

BD•CO=

1

2

BC•DF，
求得BD=

5

3

，DO=

2

3

．（7分）
即D（-

2

3

，0），
易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2．（8分）

（3）过点D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．
∵CD为∠ACB的平分线，∴DE=DF．
由△MDE∽△MNC，有

DE

CN

=

MD

MN

，（9分）
由△DNF∽△MNC，有

DF

CM

=

DN

MN

．（10分）
∴

DE

CN

+

DF

CM

=

MD

MN

+

DN

MN

=1，（11分）
即

1

CM

+

1

CN

=

1

DE

=

3 5

10

．（12分）