题目内容

有一个矩形ABCD，A在原点，C在y=
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x的图象上，如图（1），AB=8．矩形ABCD沿射线AC的方向以每秒1的速度平移，同时，一个动点P从B点出发以每秒1的速度沿平移中的矩形的边B-C-D运动．
（1）求平移中的矩形ABCD的对称中心K到原点的距离y关于运动时间t（秒）的函数关系式；
（2）求运动时间为5秒时P点的坐标；
（3）若作PM⊥x轴，PN⊥y轴，是否在某一时刻，使矩形OMPN与矩形ABCD相似？若有，求出来；若没有，说明理由．
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分析：（1）根据题意先求出初始距离，再求移动到某一位置时到原点的距离；
（2）运动时间为5秒时A的坐标为（4，3），又因此时P在线段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5）；
（3）因为某一时刻，矩形OMPN与矩形ABCD相似，所以可设运动时间为t秒，因为动点P从B点出发以每秒1的速度沿平移中的矩形的边B-C-D运动，所以需分情况讨论．
解答：解：（1）∵C在y=
3
4
x的图象上，AB=8，
∴AC=10，所以矩形ABCD的对称中心即对角线的交点到原点的距离为5．
又因矩形ABCD沿射线AC的方向以每秒1的速度平移，
所以平移中的矩形ABCD的对称中心K到原点的距离y关于运动时间t（秒）的函数关系式y=t+5；（2分）

（2）运动时间为5秒时A的坐标为（4，3），又因此时P在线段BC上，PB=5，AB=8，所以P（8+4，3+5），
即P（12，8）；（5分）

（3）设运动时间为t秒．
当0≤t≤6时，（P在BC上）P(8+
4
5
t，t+
3
5
t)
8+
4
5
t
t+
3
5
t
=
4
3
时，t=6；（7分）
8+
4
5
t
t+
3
5
t
=
3
4
时，t=20（舍）．（9分）
当6≤t≤14时，（P在CD上）P(14-
1
5
t，6+
3
5
t)
14-
1
5
t
6+
3
5
t
=
4
3
时，t=6；（10分）
14-
4
5
t
6+
3
5
t
=
3
4
时，t=
190
3
（舍）．（11分）
因此，只有t=6时矩形OMPN与矩形ABCD相似．（12分）
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质来解决问题，但应注意解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
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（2）求运动时间为5秒时P点的坐标；
（3）若作PM⊥x轴，PN⊥y轴，是否在某一时刻，使矩形OMPN与矩形ABCD相似？若有，求出来；若没有，说明理由．

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