Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4

2

，AD=

2

，∠B=45°，直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动（不与点C重合），一直角边始终经过点A（如图），斜边与CD交于点F，设BE=x，CF=y
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）求y关于x的函数解析式，并求出当点E移动到什么位置时y的值最大，最大值是多少？
（3）连接AF，当△AEF为直角三角形时，求x的值；
（4）求点E移动过程中，△ADF外接圆半径的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意易证∠1=∠3，从而得出△ABE∽△ECF；
（2）由相似得出比例式，即可得出y是x的二次函数，求出y的最大值即可；
（3）分两种情况①∠EAF=90°时，②∠EFA=90°时，得出x的值；
（4）设△ADF外接圆半径为r，作FH⊥AD于H，由勾股定理可求出r的最小值．

解答：解：（1）∵∠AEF=∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∴△ABE∽△ECF；

（2）AB=（4

2

-

2

）÷2×

2

=3，
由（1）得，

BE

CF

=

AB

CE

，即

x

y

=

3

4 2 -x

，
∴y=

1

3

x（4

2

-x）=-

1

3

x²+

4 2

3

x（0＜x＜4

2

），
当x=2

2

即E为BC的中点时，y_max=

8

3

；

（3）（i）如图i．当∠EAF=90°时，EF=

2

AE，
∴EC=

2

AB，即4

2

-x=

2

×3，
∴x=

2

；
（ii）如图ii：∠EFA=90°时，∴AE=

2

EF，
∴AB=

2

EC，即3=

2

（4

2

-x），
∴x=

5

2

2

（4）设△ADF外接圆的圆心为O，其半径为r．
∵∠ADF=135°，
∴劣弧AF所对圆周角为45°
∴劣弧AF所对圆心角∠AOF=90°，
∴AF=

2

r，
当AF最小时，r也最小；
又∵当CF最大时，AF最小，
此时DF=DC-CF=3-

8

3

=

1

3

，
作FH⊥AD于H，则FH=DH=

2

6

，
∴AF_min=

AH2+FH2

=

10

6

=

5

3

，
∴r_min=

5 2

6

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的最值问题以及等腰梯形的性质，是一道综合题，难度较大．