题目内容

已知反比例函数y= $数学公式$ 的图象和一次函数y=kx-7的图象都经过P（m，2）．有A、B两点在这个一次函数的图象上，过A、B向x轴作垂线，与这个反比例函数的图象分别交于C、D两点，连接C、D，若CD=AB，且A和B的横坐标分别为2和2+a．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求a的值；
（3）求四边形ABCD的周长．

解：（1）∵P（m，2）在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴将x=m，y=2代入反比例解析式得：2= $\text{[math]}$ ，即m=6，
∴P（6，2），
∵P（6，2）在y=kx-7上，
∴将x=6，y=2代入得：2=6k-7，即k= $\text{[math]}$ ，
∴一次函数解析式为y= $\text{[math]}$ x-7；

（2）由条件知A（2，-4），B（2+a，-4+ $\text{[math]}$ a），C（2，6），D（2+a， $\text{[math]}$ ），
∵CD=AB，∴CD²=AB²，
∴a²+（ $\text{[math]}$ -6）²=a²+ $\text{[math]}$ a²，即 $\text{[math]}$ -6= $\text{[math]}$ a，即 $\text{[math]}$ -6=- $\text{[math]}$ a，
解得：a=0（舍去）或a=-6；a=0（舍去）或a=2，
经检验a=-6与a=2是原方程的解，
则a的值为-6或2；

（3）当a=2时，A（2，-4），B（4，-1），C（2，6），D（4，3），四边形ABCD的周长为14+2 $\text{[math]}$ ；
当a=-6时，A（2，-4），B（-4，-13），C（2，6），D（-4，-3），四边形ABCD的周长为20+2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将P坐标代入反比例解析式中，求出m的值，确定出P的坐标，将P坐标代入一次函数解析式中求出k的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）由题意及（1）中确定出的一次函数解析式，表示出A、B、C、D的坐标，由AB=CD，得到CD²=AB²，利用两点间的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（3）由求出a的值，得到A、B、C、D的坐标，即可求出四边形ABCD的周长．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，坐标与图形性质，以及勾股定理的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．