Question

已知a，b，c是正整数，且抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B到原点的距离都小于1，则a+b+c的最小值为

1. A.
   8
2. B.
   9
3. C.
   10
4. D.
   11

Answer 1

D
分析：先根据方程ax²+bx+c=0有两个相异根都在（-1，0）中可得到，a-b+c＞0，＜1，且b²-4ac＞0，再由不等式的基本性质可求出a的取值范围，再根据a、b、c之间的关系即可求解．
解答：据题意得，方程ax²+bx+c=0有两个相异根，都在（-1，0）中，
故当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根=x₁x₂＜1，且b²-4ac＞0①，
∵a，b，c都为正整数，a-b+c＞0，
∴a-b+c≥1②，且a＞c③，
由b²-4ac＞0，得到b²＞4ac，即b＞2，
∴a+c≥b+1＞2+1，即（-）²＞1，
由③得，＞+1，故a＞4，
又b＞2≥2＞4，
故分别取a、b、c的最小整数5、5、1，经检验，符合题意，
则a+b+c的最小值为11．
故选D．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，基本不等式的运用，以及根的判别式，由a-b+c＞0，＜1，且b²-4ac＞0得到关于a、b、c的关系式是解答此题的关键．