Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD，AD=

2

，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F，若△ABE是以AB为腰的等腰三角形，则CF的等于

 

．

Answer 1

分析：首先理解题意，得出此题应该分两种情况进行分析，分别是AB=AE，AB=BE，从而得到最后答案．

解答：解：根据已知条件可得，
AB=（BC-AD）÷2÷cosB=3．
①当AB=AE时，如图，
∠B=45°，∠AEB=45°，AE=AB=3，
则在Rt△ABE中，BE=

32+32

=3

2

，
故EC=4

2

-3

2

=

2

．
易得△FEC为等腰直角三角形，
故FC=

( 2 )2+( 2 )2

=2．
②当AB=BE时，
∵∠B+∠BAE=45°+∠CEF，∠B=45°，
∴∠CEF=∠EAB，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∵

AB

CE

=

BE

CF

，
∴

3

4 2 -3

=

3

CF

，
∴CF=4

2

-3；
△ABE∽△FCE，
∴

AB

FC

=

EB

CE

，
∴

3

CF

=

3

4 2 -3

CF=4

2

-3，
故答案为：2或4

2

-3．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及等腰直角三角形的性质，综合性较强．