题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD于F，
交AB于E．（1）若n=1，则
| DF |
| CF |
| BD |
| AF |
（2）若n=2，求
| BE |
| AE |
（3）当n=
| BE |
| AE |
| 2 |
| 5 |
分析：（1）由条件可判定△DFC∽△DCA，得
=
，又知AC=BC，所以
=
，从而可得
=
；
（2）通过解直角三角形可知BE：AE=1：3；
（3）同理反过来可解得n=
．
| DF |
| CF |
| DC |
| AC |
| DF |
| CF |
| 1 |
| 2 |
| BD |
| AF |
| ||
| 4 |
（2）通过解直角三角形可知BE：AE=1：3；
（3）同理反过来可解得n=
| 3 |
| 2 |
解答：解：（1）∵∠CDF=∠CDA，∠CFD=∠ACB=90°，
∴△DFC∽△DCA，
∴
=
，
又∵AC=BC，BD=CD=
BC，
∴
=
，
设DF=x，则CF=2x，CD=
x，AC=2
x，由勾股定理得，AF=
=4x，
∴
=
；
（2）过点A作BC的平行线，与CE的延长线交于点G，则△CAG∽△DCA，△AEG∽△BEC，
设CD=x，则BD=nx，AC=BC=x+nx，
∵
=
，
∴AG=（n+1）2x，又
=
=
，
∴当n=2时，
=
．
（3）由（2）知，
=
，令
=
，解得n=
．
∴△DFC∽△DCA，
∴
| DF |
| CF |
| DC |
| AC |
又∵AC=BC，BD=CD=
| 1 |
| 2 |
∴
| DF |
| CF |
| 1 |
| 2 |
设DF=x，则CF=2x，CD=
| 5 |
| 5 |
| AC2-CF2 |
∴
| BD |
| AF |
| ||
| 4 |
（2）过点A作BC的平行线，与CE的延长线交于点G，则△CAG∽△DCA，△AEG∽△BEC，
设CD=x，则BD=nx，AC=BC=x+nx，
∵
| CD |
| AC |
| AC |
| AG |
∴AG=（n+1）2x，又
| BE |
| AE |
| BC |
| AG |
| 1 |
| n+1 |
∴当n=2时，
| BE |
| AE |
| 1 |
| 3 |
（3）由（2）知，
| BE |
| AE |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+1 |
| 2 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题主要考查相似三角形的判定及性质，涉及到直角三角形的性质知识点．
练习册系列答案
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