Question

如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
（1）求证：△EGB≌△EFC；
（2）若AB=3，AC=5，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）求出∠EFC=∠EGB=90°，EF=EG，根据HL推出两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出GB=FC，根据勾股定理求出AF=AG，求出AG，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵AE平分∠DAC，EF⊥AC，EG⊥AD，
∴∠EFC=∠EGB=90°，EF=EG，
∵在Rt△EGB和Rt△EFC中

EB=EC EG=EF

，
∴Rt△EGB≌Rt△EFC（HL）；

（2）解：∵△EGB≌△EFC，
∴GB=FC，EG=EF，
在Rt△EGA和Rt△EFA中

EA=EA EG=EF

，
∴Rt△EGA≌Rt△EFA
∴AF=AG，
∵AG+AB=AC-AF，
∴AF+AB=AC-AF，
∴2AF=AC-AB=5-3=2，
∴AF=1．

点评：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，关键是推出△EGB≌△EFC和Rt△EGA≌Rt△EFA是解题关键．