Question

【题目】如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.

（1）填空：与的数量关系为 ；

（2）求的值；

（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.

【解析】

试题分析：（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；

（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；

（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；

试题解析：（1）如图1中，

在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，

∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．

（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．

∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，

∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，

∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，

∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，

∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，

∴，∴，

∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，

∴（负根已经舍弃），∴．

（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．

由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，

∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，

∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，

∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，

∴△PA′D∽△PBC，

∴，

∴，即

∴PC=1．