Question

已知：如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G.

   (1)求证：BF=AC；

   (2)求证：CE=BF；

   (3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.

Answer 1

解:(1)证明:因为CD⊥AB, ∠ABC=45°，

所以△BCD是等腰直角三角形.

所以BD=CD.

在Rt△DFB和Rt△DAC中,

因为∠DBF=90°-∠BFD, ∠DCA=90°-∠EFC,

又∠BFD=∠EFC,

所以∠DBF=∠DCA.

又因为∠BDF=∠CDA=90°,BD=CD,.

所以Rt△DFB≌Rt△DAC.

所以BF=AC.

(2)证明:在Rt△BEA和Rt△BEC中,

因为BE平分∠ABC,

所以∠ABE=∠CBE.

又因为BE=BE, ∠BEA=∠BEC=90°,

所以Rt△BEA≌Rt△BEC.

所以CE=AE=AC.

又由(1),知BF=AC,

所以CE=AC=BF.

(3)CE＜BG.证明:连接CG,

因为△BCD是等腰直角三角形,

所以BD=CD,

又H是BC边的中点,

所以DH垂直平分BC.

所以BG=CG,

在Rt△CEG中,

因为CG是斜边,CE是直角边,

所以CE＜CG,即CE＜BG.