Question

如图所示，正△ABC内接于⊙O，P足劣弧上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB＋PC；②＝＋③PA·PE＝PB·PC．其中，正确结论的个数为

[　　]

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

Answer 1

答案：B
解析：

解题指导：①如图所示，延长BP至D，使PD＝PC，连结CD． 　　因为△ABC是正三角形，所以∠BAC＝，所以劣弧＝，所以优弧＝，所以圆周角∠BPC＝，所以∠CPD＝．因为PD＝PC，所以△PCD是正三角形，所以DC＝PC，∠DCP＝，所以∠BCD＝∠BCP＋∠DCP＝∠BCP＋，又因为∠ACP＝∠BCP＋∠ACB＝∠BCP＋，所以在△BCD和△ACP中所以△BCD≌△ACP．所以PA＝BD＝PB＋PD＝PB＋PC．所以CD＝CP．已知式子是正确的． 　　②将已知式＝＋变形成为＝，由①知，PA＝PB＋PC，那么已知式子变为＝，即＝，但PA＞PB，PC＜PA，所以它们的比值不可能相同，故已知式子不正确． 　　③因为∠PAC与∠PBC是同弧所对的圆周角，所以∠PAC＝∠PBC，又因为△ABC是正三角形，所以AB＝AC，由相等的弦所对的弧相等知＝，所以这两条弧所对的圆周角相等，即∠APC＝∠APB，所以△EPC∽△BPA，所以＝，即PA·PE＝PB·PC．所以已知式子是正确的．