Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠B=60°，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=1，BE=DH=2，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于

1. A.
   4
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：延长FE交CB的延长线于W，过E作EM⊥AD交DA延长线于M，过F作FN⊥CD于N，过A作AR⊥BC于R，连接FH、EG，求出平行四边形EFHG，求出菱形面积、△AEF、△CGH、△FHD、△EGB的面积，即可求出答案．
解答：
解：延长FE交CB的延长线于W，过E作EM⊥AD交DA延长线于M，过F作FN⊥CD于N，过A作AR⊥BC于R，连接FH、EG，
则∠M=∠FND=∠ARB=90°，
∵AB=4，∠B=60°，
∴∠BAR=30°，
∴BR=2，AR=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，AB=AD=CB=4，
∵BE=CH=4，
∴AE=DH=2，
在△AEF和△CHG中
，
∴△AEF≌△CHG（SAS），
∴EF=GH，∠AFE=∠HGC，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠W，
∴∠W=∠HGC，
∴EF∥GH，
∵EF=GH，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∴△PEF和△PGH的面积和S=EF×h_EF+GH×h_GH=S_{平行四边形EFHG}；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，
∵∠B=60°，
∴∠B=∠MAE=60°，
∵∠M=90°
∴∠MEA=30°，
∵AB=4，BE=2，
∴AE=2，
∴AM=AE=1，
由勾股定理得：ME=，
即△AEF的面积是S₁=×AF×ME=×1×=，
同理可得△CHG的面积S₂=，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
∵∠FND=90°，
∴∠DFN=30°，
∴DN=DF=×（4-1）=，
由勾股定理得：FN=，
∴△FHD的面积S₃=DH×FN=×（4-2）×=，
同理可得△BEG的面积S₄=，
∴平行四边形EFHG的面积是S_菱形ABCD-S₁-S₂-S₃-S₄=4×2----=4，
即△PEF和△PGH的面积和是S_{平行四边形EFHG}=2，
故选B．
点评：本题考查了菱形的面积，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的综合运用，本题综合性比较强，难度偏大．