Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB‖CD,已知,，，以所在直线为轴，为坐标原点，建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转得到等腰梯形OEFG（O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点）（如图）.

⑴在直线DC上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，写出出点的坐标，若不存在，请说明理由.

⑵将等腰梯形ABCD沿轴的正半轴平行移动，设移动后的（0<x≤6），等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式.并求出重叠部分的面积的最大值。

 

Answer 1

【答案】

⑴P（-2，2），P（0，2）⑵①当0＜x≤2时，y=x； 当2≤x≤4时；y=－x+2x-2 ；当4≤x≤6时；y=－x+4x-6  ②2

【解析】（1）①EP=FP时，作出EF的垂直平分线，易得点P的坐标和D坐标重合为（-2，2），

②EP=EF时，与直线CD无交点，舍去这种情况；

EF=FP时，可得P坐标为CD与y轴的交点为（0，2）

∴P（-2，2），P（0，2）；

（2）①当0＜x≤2时，y=x；   

当2≤x≤4时；y=－x+2x-2

当4≤x≤6时；y=－x+4x-6  

②当0＜x≤2时，y=x 当x＝2时，y最大＝1，　

当2≤x≤4时；y=－x+2x-2＝－（x－4）+2　　当x＝4时，y最大＝2　

当4≤x≤6时；y=－x+4x-6＝－（x－4）2+2　　当x＝4时，y最大＝2　

综上可知：当x＝4时，重叠部分的面积y最大＝2　

（1）易得D（-2，2），△EFP为等腰三角形，应分情况进行探讨．EP=FP时，作出EF的垂直平分线，易得点P的坐标和D坐标重合为（-2，2），EP=EF时，与直线CD无交点，舍去这种情况，EF=FP时，可得P坐标为CD与y轴的交点为（0，2）；

（2）易得F（2，4），G（2，2），作出等腰梯形的两条高，得到等腰梯形是上底为2，高为2．当移动距离为0-2时，重合部分是三角形，底边为x，高为0.5x，易得面积；移动距离为2-4时，重合部分是四边形，可让梯形面积减去直角三角形面积；移动距离为4-6时，重合部分是三角形，易求得高与底边．