Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D在AC上，以DC为直径的半圆O切AB于E．F在CE上，CF：EF=1：3，OF=1，求BC的长．

Answer 1

解：连接OE，过O作OH⊥CE于H，
∴EH=CH，
∵CF：EF=1：3，
∴FH=CF，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，
即∠AEO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOA=60°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=∠EOA=30°，
设OH=x，
则OC=2x，CH=OC•cos∠OCE=x，
∴FH=x，
在Rt△OFH中，OF²=OH²+FH²，
即1=x²+（x）²，
解得：x=，
∴OE=OC=，
∴OA=2OE=，
∴AC=，
∴BC=AC•tan∠A=×=．
分析：首先连接OE，过O作OH⊥CE于H，由垂径定理与CF：EF=1：3，易得FH=CF，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB是⊙O的切线，易求得∠OCE=30°，然后设OH=x，利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得OC的长，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．