Question

6．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，进而利用勾股定理以及锐角三角函数关系求出BC的长，进而求出答案．

解答 解：如图所示：

过点D作DE⊥BC延长线于点E，
∵AB=AC=4，∠BAC=30°，以AC为一边作等边△ACD，
∴∠BAD=90°，∠ABC=∠ACB=75°，AB=AD=DC=4，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠DBE=30°，∠DCE=45°，
∴DB=4$\sqrt{2}$，则DE=EC=2$\sqrt{2}$，BE=BDcos30°=2$\sqrt{6}$，
则BC=BE-EC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，
则△BCD的面积为：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{3}$-4．
如图所示：过点D作DE⊥BC延长线于点E，

∵∠BAC=30°，△ACD是等边三角形，
∴∠DAB=30°，
∴AB垂直平分DC，
∴∠DBA=∠ABC=75°，BD=BC，
∴∠DBE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，
∴由（1）得：△BCD的面积为：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）=8-4$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质和锐角三角函数关系等知识，得出BC的长是解题关键．