Question

如图，矩形ABCD中，BC=6，∠BAC=30°，E点为CD的中点．点P为对角线AC上的一动点．则①AC=________；②PD+PE的最小值等于________．

Answer 1

12    9
分析：①由矩形的性质可知三角形ABC是直角三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AC的长；
②过E作关于AC的对称点E′，则△EE'C为等边三角形，△DE'C为直角三角形，BC=6，则CD=6，PD+PE的最小值=DE′=CD×sin60°=9．
解答：解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵BC=6，∠BAC=30°，
∴AC=2BC=12，
故答案为12；
②过E作关于AC的对称点E′，则△EE'C为等边三角形，△DE'C为直角三角形，
∵AC=12，BC=6，
∴AB=DC==6，
∴PD+PE的最小值=DE′=CD×sin60°=9．
故答案为9．
点评：本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理的运用和最短路线问题：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．