Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B （4，0）、D （5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求∠ADB的正切值；

（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+8；（2）；（3）P（11，9）或（4，2）．

【解析】

（1）先根据的面积求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）先根据的坐标求出的值，再过点B作于E，可求出的值，从而可得的正切值；

（3）根据的坐标分别求出直线的解析式，再分和两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质得出对应角相等，然后利用平行线的性质和解直角三角形求解即可.

（1）设

，AB边上的高为3

则由的面积是3可得：

解得

设抛物线解析式为

将代入得：，解得

故该抛物线的表达式为；

（2）如图1，过点D作轴于点F

则

过点B作于E

在等腰中，

则

故的正切值为；

（3）如图2，设直线AD解析式为

将代入得，解得

则直线AD解析式为

同理，由可得直线BD解析式为

由可得直线CD解析式为

当时，，解得

①若，则

则可设PE所在直线解析式为

将点代入得，解得

则直线PE解析式为

由，解得

故此时点

②若，则

过点P作于点G

由直线AD的解析式可设P的坐标为

则

，解得

综上，点P的坐标为或.