Question

已知关于x的一元二次方程有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）不存在

解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴，即。
∴。∴。
∴当时，原方程有两个实数根。
（2）假设存在实数k使得成立。
∵x₁，x₂是原方程的两根，∴。                 
由，得。
∴，整理得：。
∴只有当k=1时，上式才能成立。
又∵由（1）知，
∴不存在实数k使得成立。
（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式，通过解该不等式即可求得k的取值范围。
（2）假设存在实数k使得成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式，通过解不等式可以求得k的值。