Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），过P点作PE交DC于F，使得∠APE=∠B．

（1）求等腰梯形的腰长；

（2）证明：△ABP∽△PCE；

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：过A作AE⊥BC于F，由已知可得

BF=……2分

在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2，

∴AB=4

即等腰梯形的腰长为4

（2）证明：由∠APC为△ABP的外角得

∠APC=∠B+∠BAP，

又∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，

∴∠BAP=∠CPE．

又由等腰梯形性质得∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCE（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似） 

（3）解：存在这样的点P

理由如下：

由DE：EC=5：3，DE+CE=DC=4，得

CE=

设BP=，则PC=7-

由△ABP∽△PCE，得

AB/PC=BP/CE，即

解得，经检验，都符合题意

∴BP=1或BP=6