题目内容
19、若勾股数组中，弦与股的差为1．证明这样的勾股数组可表示为如下形式：2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1，其中a为正整数．
分析：设勾长为x，弦长为z，则股长为z-1，并确定x为奇数，可设x=2a+1，根据勾股定理列出关于a，z的方程，解答用a表示z，即可证明．
解答：证明：设勾长为x，弦长为z，则股长为z-1，
∴x，z-1，z是一个基本勾股数组．
由z为奇数知：z-1为偶数，从而x为奇数，
设x=2a+1（a为正整数），
则有（2a+1）2+（z-1）2=z2，
解得z=2a2+2a+1，
故勾股数组具有形式2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1．
∴x，z-1，z是一个基本勾股数组．
由z为奇数知：z-1为偶数，从而x为奇数，
设x=2a+1（a为正整数），
则有（2a+1）2+（z-1）2=z2，
解得z=2a2+2a+1，
故勾股数组具有形式2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1．
点评：此题考查了勾股数，关键是x=2a+1，难度较大．
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