Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=6，BC=12，点E在AD边上，且AE：ED=1：2，连接CE，点P是AB边上的一个动点，（P不与A，B重合）过点P作PQ∥CE，交BC于Q，设BP=x，CQ=y，
（1）求cosB的值；
（2）求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）连接EQ，试探索△EQC有无可能是直角三角形？若可能，试求出x的值；若不能，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点A作AH⊥BC，易求得cosB；
（2）过点E作EF∥AB，则可得出BF=AE，EF=AB，FC的长，又BP=x，BQ=12-y，不难得△BPQ∽△FEC，从而得出y与x的函数关系式；
（3）显然∠ECQ≠90°，可计算出tan∠ECQ，cos∠ECQ，分为两种情况：若∠EQC=90°，若∠QEC=90°，求出x的值即可．

解答：解：（1）过点A作AH⊥BC，则BH=3，从而cosB=

3

5

．（3分）

（2）过点E作EF∥AB交BC于F点，则BF=AE=2，EF=AB=5，FC=10，
又BP=x，BQ=12-y，
不难得△BPQ∽△FEC，
∴

BP

BQ

=

FE

FC

，即

x

12-y

=

5

10

，（6分）
∴y=-2x+12，（0＜x＜5）（8分）

（3）显然∠ECQ≠90°，且tan∠ECQ=

4

7

，CE=

65

，cos∠ECQ=

7

65

65

，（9分）
若∠EQC=90°，则CQ=7，即y=7，从而x=

5

2

；（11分）
若∠QEC=90°，则cos∠ECQ=

EC

QC

=

7

65

65

，即

65

y

=

7

65

65

，
y=

65

7

，从而x=

19

14

；（（13分）
综上，x=

5

2

或x=

19

14

．（14分）

点评：本题是一道综合题，考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形以及函数解析式的确定．