题目内容
已知a1，a2，…，an是正整数，且a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，a12+a22+…+an2=24，则（a1，a2，…，an）=
（1，1，2，3，3）或（1，1，1，1，2，4）（对一个给3分）
（1，1，2，3，3）或（1，1，1，1，2，4）（对一个给3分）
．分析：由于a1，a2，…，an是正整数，52＞24，能确定1≤an≤4，再分别分情况讨论，①当an=1时；②当an=2时；③当an=3时；④当an=4时，注意a1≤a2≤…≤an，在每一种情况里又需要分情况讨论．
解答：解：∵52＞24，
∴an≤4，
又∵an是正整数，
∴1≤an≤4，
①当an=1时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a1=a2=…=an=1（n=10），
∴a12+a22+…+a102=10，
又∵a12+a22+…+an2=24，
∴此解不成立；
②当an=2时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a n-1=1或a n-1=2，
当a n-1=1时，a n-2必等于1，以此类推，
∴a1=a2=a3=a4=a5=a6=a7=a8=1（n=9），
∴a12+a22+…+a92=12，
又∵a12+a22+…+an2=24，
∴an-1=1不成立；
当a n-1=2时，a n-2可等于1，也可等于2，
那么就有a1=a2=a3=a4=a5=a6=1（n=8），
∴a12+a22+…+a82=14≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=a4=1，a5=a6=a7=2（n=7），
∵a12+a22+…+a72=16≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=1，a3=a4=a5=a6=2（n=6），
∵a12+a22+…+a62=18≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=a4=a5=2（n=5），
∵a12+a22+…+a52=20≠24，
∴此解不成立；
∴当an=2时，没有符合题意的解；
③当an=3时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a n-1=1或a n-1=2或a n-1=3，
当a n-1=1时，a n-2必等于1，
那么a1=a2=…=a7=1，a8=3（n=8），
∵a12+a22+…+a82=16≠24，
∴此解不成立；
当a n-1=2时，a n-2可以等于2，也可以等于1，
当a1=a2=…=a5=1，a6=2，a7=3（n=7），
∵a12+a22+…+a72=18≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=1，a4=a5=2，a6=3（n=6），
∵a12+a22+…+a62=20≠24，
∴此解不成立；
或a1=1，a2=a3=a4=2，a5=3（n=5），
∵a12+a22+…+a52=22≠24，
当a n-1=3时，a n-2可以等于3，也可以等于2，还可以等于1，
当a n-2=3时，则a1=1，a2=a3=a4=3（n=4），
∵a12+a22+…+a42=28≠24，
∴此解不成立；
或a n-2=2时，则a1=a2=1，a3=2，a4=a5=3（n=5），
∵a12+a22+…+a52=24，
∴此解成立；
或a1=a2=2，a3=a4=3（n=4），
∵a12+a22+…+a42=26≠24，
∴此解不成立；
④当an=4时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a n-1=1或a n-1=2或a n-1=3或a n-1=4，
当a n-1=1，必有a1=a2=…=a6=1，a7=4（n=7），
∵a12+a22+…+a72=22≠24，
∴此解不成立；
当a n-1=2，有a1=a2=a3=a4=1，a5=2，a6=4（n=6），
∵a12+a22+…+a62=24，
∴此解成立；
或a1=a2=1，a3=a4=2，a5=4（n=5），
∵a12+a22+…+a52=26≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=2，a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=28≠24，
∴此解不成立；
当a n-1=3时，有a1=a2=a3=1，a4=3，a5=4（n=5），
∵a12+a22+…+a52=28≠24，
∴此解不成立；
或a1=1，a2=2，a3=3，a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=30≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=3，a3=4（n=3），
∵a12+a22+…+a32=34≠24，
∴此解不成立；
当a n-1=4，只有a1=a2=1，a3=a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=34≠24，
∴此解不成立；
∴综上所述，符合条件的解有两组：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．
故答案是：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．
∴an≤4，
又∵an是正整数，
∴1≤an≤4，
①当an=1时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a1=a2=…=an=1（n=10），
∴a12+a22+…+a102=10，
又∵a12+a22+…+an2=24，
∴此解不成立；
②当an=2时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a n-1=1或a n-1=2，
当a n-1=1时，a n-2必等于1，以此类推，
∴a1=a2=a3=a4=a5=a6=a7=a8=1（n=9），
∴a12+a22+…+a92=12，
又∵a12+a22+…+an2=24，
∴an-1=1不成立；
当a n-1=2时，a n-2可等于1，也可等于2，
那么就有a1=a2=a3=a4=a5=a6=1（n=8），
∴a12+a22+…+a82=14≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=a4=1，a5=a6=a7=2（n=7），
∵a12+a22+…+a72=16≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=1，a3=a4=a5=a6=2（n=6），
∵a12+a22+…+a62=18≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=a4=a5=2（n=5），
∵a12+a22+…+a52=20≠24，
∴此解不成立；
∴当an=2时，没有符合题意的解；
③当an=3时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a n-1=1或a n-1=2或a n-1=3，
当a n-1=1时，a n-2必等于1，
那么a1=a2=…=a7=1，a8=3（n=8），
∵a12+a22+…+a82=16≠24，
∴此解不成立；
当a n-1=2时，a n-2可以等于2，也可以等于1，
当a1=a2=…=a5=1，a6=2，a7=3（n=7），
∵a12+a22+…+a72=18≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=1，a4=a5=2，a6=3（n=6），
∵a12+a22+…+a62=20≠24，
∴此解不成立；
或a1=1，a2=a3=a4=2，a5=3（n=5），
∵a12+a22+…+a52=22≠24，
当a n-1=3时，a n-2可以等于3，也可以等于2，还可以等于1，
当a n-2=3时，则a1=1，a2=a3=a4=3（n=4），
∵a12+a22+…+a42=28≠24，
∴此解不成立；
或a n-2=2时，则a1=a2=1，a3=2，a4=a5=3（n=5），
∵a12+a22+…+a52=24，
∴此解成立；
或a1=a2=2，a3=a4=3（n=4），
∵a12+a22+…+a42=26≠24，
∴此解不成立；
④当an=4时，∵a1≤a2≤…≤an，a1+a2+…+an=10，
∴a n-1=1或a n-1=2或a n-1=3或a n-1=4，
当a n-1=1，必有a1=a2=…=a6=1，a7=4（n=7），
∵a12+a22+…+a72=22≠24，
∴此解不成立；
当a n-1=2，有a1=a2=a3=a4=1，a5=2，a6=4（n=6），
∵a12+a22+…+a62=24，
∴此解成立；
或a1=a2=1，a3=a4=2，a5=4（n=5），
∵a12+a22+…+a52=26≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=a3=2，a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=28≠24，
∴此解不成立；
当a n-1=3时，有a1=a2=a3=1，a4=3，a5=4（n=5），
∵a12+a22+…+a52=28≠24，
∴此解不成立；
或a1=1，a2=2，a3=3，a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=30≠24，
∴此解不成立；
或a1=a2=3，a3=4（n=3），
∵a12+a22+…+a32=34≠24，
∴此解不成立；
当a n-1=4，只有a1=a2=1，a3=a4=4（n=4），
∵a12+a22+…+a42=34≠24，
∴此解不成立；
∴综上所述，符合条件的解有两组：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．
故答案是：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．
点评：本题考查了等式的证明．可以先让选择的数符合其中一个条件，再看是否符合第二个条件．
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如图，已知A1，A2，A3，…，A2012是x轴上的点，且0A1=A1A2=A2A3=…=A2010A2011=A2011A2012=1，分别过点A1，A2，A3，…，A2012作x轴的垂线交二次函数y=x2（x≥0）的图象于点P1，P2，P3，…，P2012，若△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，最后记△P2011B2011P2012的面积为S20121，则