Question

已知，如图：在平面直角坐标系中，点D是直线y=-x上一点，过O、D两点的圆⊙O₁分别交x轴、y轴于点A和B．
（1）当A（-12，0），B（0，-5）时，求O₁的坐标；

（2）在（1）的条件下，过点A作⊙O₁的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标；

（3）若点D的横坐标为-

7

2

，点I为△ABO的内心，IE⊥AB于E，当过O、D两点的⊙O₁的大小发生变化时，其结论：AE-BE的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围．

Answer 1

分析：（1）连接AB，过点O₁作O₁K⊥OA于点K，由∠AOB=90°，可知：AB过圆心O₁，已知点A，点B的坐标，O₁A=O₁B，则O₁K=

1

2

OB，OK=

1

2

OA，从而可将点O₁的坐标求出；
（2）证△ACH≌△BAO，得CH=OA，OH=AO-OB，从而可将点C的坐标求出；
（3）作辅助线，作DN⊥X轴于N，DM⊥Y轴于M，可知：四边形DMON为正方形，通过证明△ADN≌△BDM，得AN=BM，故AE-BEAG-BF=（OA-OG）-（OB-OF）=OA-OB=（AN+OG）-（AN-MO）=OG+OM=7为定值．

解答：解：（1）连接AB，过点O₁作O₁K⊥OA于点K，
∵∠AOB=90°，
∴AB经过圆心O₁，
∵A（-12，0），B（0，-5），O₁K⊥O₁A，O₁A=O₁B，
∴O₁K=

1

2

OB=2.5，OK=

1

2

OA=

1

2

×12=6，
∴O₁（-6，-2.5）；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，连接AD、AB，
∵AC为⊙O₁的切线
∴∠CAB=90°，
∵直线OD解析式为y=-x，
∴∠AOD=∠ABD=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，
∵AC为⊙O₁的切线，
∴∠CAH=∠ABO，
∵∠CHA=∠AOB=90°，AC=AB，
∴△ACH≌△BAO，
∴CH=OA=12，OH=AO-OB=12-5=7，
∴点C（-7，12）；

（3）D是直线y=-x上一点，作DN⊥X轴于N，DM⊥Y轴于M，
DM=DN=NO=MO，G、F分别是与X轴、Y轴的切点，由AE=AG，BE=BF，IG=OG=OF=IF，
∵∠ADN+∠NDB=90°，∠BDM+∠NDB=90°
∴∠ADN=∠BDM，
∵∠ADN=∠BDM，ND=DM，∠AND=∠BMD=90°
∴△ADN≌△BDM，
∴AN=BM，
∴AE-BE=AG-BF，
=（OA-OG）-（OB-OF）
=OA-OB
=（AN+ON）-（AN-MO）
=ON+OM
=

7

2

+

7

2

=7．

点评：此题作为压轴题，综合考圆的切线，三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定等知识．此题是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．